A netrvalo dlho a pripísal si prestížny úspech. V roku 1986 získal Oscara za výkon v adaptácii románu Manuela Puiga Bozk pavúčej ženy. Za rolu homosexuála v juhoamerickom väzení bol ocenený aj na MFF v Cannes. V posledných rokoch sa Hurt objavil napríklad vo filmoch Avengers: Infinity War a Avengers: Endgame.
Rodák z Washingtonu (1950) strávil svoje detstvo na ostrovoch v Tichomorí, kde bol jeho otec úradníkom americkej vlády. Krátko študoval teológiu, ale potom sa rozhodol pre herectvo. Svoju kariéru Hurt začal v 70. rokoch v divadle, neskôr sa presadil aj vo filme. Nomináciu na Oscara získal ešte trikrát – za rolu učiteľa nepočujúcich vo filme Bohom zabudnuté deti (1986), za rolu ambiciózneho televízneho hlásateľa v snímke Vysielame správy (1987) a v roku 2005 za vedľajšiu úlohu vo filme História násilia od režiséra Davida Cronenberga.
Hurt v roku 2000 nakrúcal v Česku sci-fi seriál Duna a zúčastnil sa aj slávnostného večera udeľovania Českých levov, kde odovzdal jednu z cien. Herec je dvakrát rozvedený a má štyri deti.